f(x)=(a^x-a^-x)/(a^x+a^-x)(0<a<1)

(1)：
求定义域：

使式子有意义，那么分式分母不为零。
因为:对于x∈R, a^x>0 , a^(-x)>0
所以f(x)的定义域为：R

求值域：

令t=a^x, a^(-x)=1/t

则原函数变成：y=f(t)=[t-1/t]/[t+1/t]

变形可得：y(t^2+1)=t^2-1
整理得：(y-1)t^2+y+1=0把此式理解为关于t的方程，明显的对于t有解。
所以Δ=0-4(y-1)(y+1)>=0
解得：y∈[-1,1]
值域：[-1,1]

(2):

证明：
设任意x1<x2∈R，则
f(x)=a^2x-1/(a^2x+1)
f(x1)-f(x2)=(a^2x1-1)/(a^2x1+1)
-(a^2x2-1)/(a^2x2+1)
=2(a^2x2-a^2x1)/[(a^2x1+1)(a^2x2+1)]
因为t=a^x>0 ,0<a<1在x∈R上是严格递减函数
故g=a^2x也是严格递减函数。
因为x1<x2
所以a^2x1>a^2x2，即：a^2x2-a^2x1<0
所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)
所以函数是增函数。

f(x)=(a^x-a^-x)/(a^x+a^-x)
0<a<1，所以a^x不等于0，定义域为R
上下同乘以a^x，得
f(x)=（a^2x-1)/(a^2x+1)
令t=a^2x因为a^2x大于0所以t>o,
f(t)=(t-1)/t+1)=1-2/(t+1)
t>0,t+1>1,0<2/(t+1)<2,-1<f(t)<1
f(x)值域为（-1，1）
f(t)=(t-1)/t+1)=1-2/(t+1)且t>o，得t+1单增，2/(t+1)单减，-2/(t